Ex 7.10, 15 - Chapter 7 Class 12 Integrals

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Ex 7.10, 15 By using the properties of definite integrals, evaluate the integrals : ∫_0^(𝜋/2)▒(sin⁡𝑥 − cos⁡𝑥)/(1 + sin⁡𝑥 cos⁡𝑥 ) 𝑑𝑥 Let I=∫_0^(𝜋/2)▒〖sin⁡〖𝑥 − cos⁡𝑥 〗/(1 + sin⁡〖𝑥 cos⁡𝑥 〗 ) 𝑑𝑥〗 ∴ I=∫_0^(𝜋/2)▒〖(𝑠𝑖𝑛(𝜋/2 − 𝑥) − 𝑐𝑜𝑠(𝜋/2 − 𝑥))/(1 + 𝑠𝑖𝑛(𝜋/2 − 𝑥) 𝑐𝑜𝑠(𝜋/2 − 𝑥) ) 𝑑𝑥〗 I=∫_0^(𝜋/2)▒〖(cos⁡𝑥 − sin⁡𝑥)/( 1 +〖 cos〗⁡𝑥 sin⁡〖𝑥 〗 ) 𝑑𝑥〗 Adding (1) and (2)i.e. (1) + (2) I+I=∫_0^(𝜋/2)▒〖 sin⁡〖𝑥 − cos⁡𝑥 〗/(1 + sin⁡〖𝑥 cos⁡𝑥 〗 ) 𝑑𝑥+〗 ∫_0^(𝜋/2)▒〖cos⁡〖𝑥 − sin⁡𝑥 〗/(1 + sin⁡〖𝑥 cos⁡𝑥 〗 ) 𝑑𝑥〗 2I=∫_0^(𝜋/2)▒〖 sin⁡〖𝑥 − cos⁡〖𝑥 +〖 cos〗⁡〖𝑥 − sin⁡𝑥 〗 〗 〗/(1 + sin⁡〖𝑥 cos⁡𝑥 〗 ) 〗 𝑑𝑥 2I=∫_0^(𝜋/2)▒〖 0/(1 + sin⁡〖𝑥 cos⁡𝑥 〗 ) 〗 𝑑𝑥 2I=0 ∴ 𝐈=𝟎